Posts Tagged ‘ciało sztywne’

PostHeaderIcon 4. Ciała sztywne

Równania opisujące ruch ciał sztywnych odkryto na długo przed wynalezieniem nowoczesnych komputerów. Aby móc wyrazić coś przydatnego w tym czasie, matematycy zmuszeni byli do manipulowania wyrażeniami symbolicznymi. W teorii ciał sztywnych, prowadzi to do przydatnych pojęć i narzędzi, takich jak tensory bezwładności, moment pędu, moment obrotowy, kwaterniony reprezentujące kierunki itp. Jednak, z obecną zdolnością do numerycznego przetwarzania ogromnych ilości danych, korzystne byłoby nawet w niektórych przypadkach rozbić obliczenia na prostsze elementy podczas uruchamiania symulacji. W przypadku trójwymiarowych ciał sztywnych, może to oznaczać modelowanie ciała sztywnego przez cztery cząstki i sześć ograniczeń (podając właściwą ilość stopni swobody, 4*3 – 6 = 6). To ułatwia wiele aspektów i jest to dokładnie tym, czym będziemy się dalej zajmować.

Rozważmy czworościan i umieśćmy cząstki w każdym z jego czterech wierzchołków. Ponadto, dla każdej z sześciu krawędzi czworościanu utworzymy ograniczenie na odległość takie jak pręt ograniczeń omówiony w poprzednim rozdziale. Jest to właściwie wystarczające do symulacji ciała sztywnego. Czworościan może zostać uwolniony wcześniej wewnątrz kostki i całkowanie Verleta pozwoli umieścić go prawidłowo. Funkcja SatisfyConstraints() powinna zadbać o dwie rzeczy: 1) cząstki są przechowywane wewnątrz kostki (jak wcześniej) i 2) sześć ograniczeń dotyczących odległości jest spełnionych. Znowu, można to zrobić za pomocą podejścia relaksacyjnego; trzy lub cztery powtórzenia (ew. z aproksymacją funkcji kwadratowej) powinny wystarczyć.

Powiedzmy wyraźnie, sztywne organy w ogóle nie zachowują się jak czworościany kolizyjnie mądre (choć może to zrobić kinetically). Istnieje też inny problem: obecnie wykrywanie kolizji między ciałem sztywnym i światem zewnętrznym bazuje tylko na wierzchołkach, tzn. jeśli wierzchołek znajduje się na zewnątrz świata jest przerzucany ponownie do wewnątrz. Działa to dobrze tak długo, jak długo wnętrze świata jest wypukłe. Jeśli świat nie jest wypukły, wtedy czworościan i świat na zewnątrz rzeczywiście mogą wzajemnie się przenikać, bez żadnego z wierzchołków czworościanu znajdującego się w nielegalnym regionie (patrz rys. 3, gdzie trójkąt reprezentuje w 2D analogię z czworościanu). Ten problem jest podejmowany dalej.

Zajmijmy się najpierw prostszą wersję problemu. Rozważmy wcześniejszy przykład pręta i załóżmy, że świat zewnętrzny przeżywa mały wstrząs. Pręt może teraz przeniknąć na zewnątrz świata, mimo, że żadna z cząstek pręta nie opuszcza świata (patrz rys. 4). Nie będziemy zagłębiać się w tajniki budowy silnika wykrywania kolizji, gdyż jest to nauka sama w sobie. Zamiast tego założymy, że istnieje już dostępny podsystem, który pozwala nam na wykrywanie kolizji. Ponadto zakładamy, że podsystem może ujawnić nam głębokość przenikania i zidentyfikować punkty przenikania w każdym z dwóch kolidujących obiektów. (Jedna z definicji punktów przenikania i głębokości przenikania brzmi tak: odległość przenikania d_p jest najkrótszą odległością, która uniemożliwia dwóm obiektom przenikania, aby jeden z nich przekształcił jeden z obiektów o odległość d_p w pewnym kierunku. Punkty przenikania są punktami na każdym obiekcie, który dokładnie dotyka innego obiektu po translacji, która miała przed chwilą miejsce).

Spójrz ponownie na rys. 4. Tutaj pręt został przeniesiony po kroku Verleta pod wpływem uderzenia. Silnik kolizji określił dwa punkty przenikania, p i q. Na rys. 4a, p jest rzeczywiście identyczny z pozycją cząstki 1, czyli \textbf{x}_1. Na rys. 4b, p leży między \textbf{x}_1oraz \textbf{x}_2 w odległości ¼ długości pręta od \textbf{x}_1. W obu przypadkach punkt p leży na pręcie, a co za tym idzie może być przedstawiony jako kombinacja liniowa \textbf{x}_1 i \textbf{x}_2, \textbf{p}=c_1 \textbf{x}_1 + c_2 \textbf{x}_2 takie, że c_1+c_2=1. W pierwszym, przypadku {c}_1=1, {c}_2=0, natomiast w drugim \textbf{c}_2=0.75, \textbf{c}_1=0.25. Wartości te mówią nam, o ile powinniśmy przemieścić odpowiednie cząstki.

Aby poprawić nieprawidłową konfigurację pręta, powinien on zostać w jakiś sposób przeniesiony do góry.  Naszym celem jest uniknięcie przenikania dzięki przeniesieniu p na tę samą pozycję co q. Robimy to poprzez dostosowanie pozycji dwóch cząsteczek \textbf{x}_1 oraz \textbf{x}_2 w kierunku wektora między p i q, D = qp.

W pierwszym przypadku, po prostu przerzucamy jak wcześniej \textbf{x}_1 z błędnego obszaru (w kierunku q) i to wszystko (\textbf{x}_2 jest nietknięte). W drugim przypadku, p jest nadal najbliżej \textbf{x}_1 i jest to jeden z powodów, dla których \textbf{x}_1 powinno zostać przeniesione bardziej niż \textbf{x}_2. Ponieważ \textbf{p} = 0.75\textbf{x}_1 + 0.25\textbf{x}_2, wybierzemy do przeniesienia \textbf{x}_1 o 0,75 za każdym razem, kiedy przenosimy \textbf{x}_2 o 0.25. Innymi słowy, nowe miejsca cząstek \textbf{x'}_1 oraz \textbf{x'}_2 są dane wyrażeniami:

 {x_1}' = x_1+0.75\lambda \cdot \Delta
 {x_2}'= x_2+0.25\lambda \cdot \Delta

gdzie l jest pewną nieznaną wartością. Nową pozycją p po przeprowadzce obu cząstek jest
\textbf{p'}=c_1 \textbf{x'}_1 + c_2 \textbf{x'}_2.

Przypomnijmy, że chcemy, aby p’ = q, tzn. należy wybrać l dokładnie takie, żeby p’ zbiegło się z q. Ponieważ przenosimy cząstki tylko w kierunku D, również p przesuwa się w kierunku D i w związku z tym rozwiązanie równania p’ = q można znaleźć poprzez obliczenie

 p' \cdot \Delta = q \cdot \Delta

dla l. Rozwijając lewą stronę:

 \begin{tabular}{ r l } \( p' \cdot \Delta \) & \(= (0.75 \cdot {x_1}'+0.25 \cdot {x_2}') \cdot \Delta \) \\ & \(= (0.75 \cdot ( x_1 + 0.75\lambda \cdot \Delta) + 0.25 \cdot ( x_2+0.25\lambda \cdot \Delta)) \cdot \Delta \) \\ & \(= (0.75 \cdot x_1 + 0.25 \cdot x_2) \cdot \Delta + \lambda (0.75^2 +0.25^2) \cdot \Delta^2 \) \\ & \(= p \cdot \Delta + \lambda (0.75^2 + 0.25^2) \cdot \Delta^2 \) \end{tabular}

które z prawą stroną równania (**) daje:

 \lambda = \frac{(\textbf{q}-\textbf{p}) \cdot \Delta} { (0.75^2+0.25^2) \cdot \Delta^2}

Łącząc l z (*) otrzymujemy nowe pozycje cząstek, dla których p’ zbiegnie się z q.

Rysunek 5 obrazuje sytuację po ruszeniu cząsteczek. Nie mamy żadnego przenikającego obiektu, ale teraz długość ograniczającego pręta została naruszona. Aby rozwiązać ten problem, robimy kolejną iterację pętli (lub kilka).

Powyższa strategia działa również dla czworościanu w zupełnie analogiczny sposób. Najpierw znajdowane są punkty przenikające p i q (mogą to być również punkty leżące wewnątrz trójkąta), a **p** jest wyrażone jako liniowa kombinacja czterech cząstek \textbf{p}=c_1 \textbf{x}_1 + c_2 \textbf{x}_2 + c_3 \textbf{x}_3 + c_4 \textbf{x}_4 takich, że c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 1 (wymaga to rozwiązania niewielkiego układu równań liniowych). Po znalezieniu D = qp, obliczamy wartość

 \lambda = \frac{(\textbf{q}-\textbf{p}) \cdot \Delta} { (c_1^2+c_2^2+c_3^2+c_4^2) \cdot \Delta^2}

i nowe pozycje są następnie dane przez
 {x_1}' = {x_1} + c_1 \lambda \cdot \Delta
 {x_2}' = {x_2} + c_2 \lambda \cdot \Delta
 {x_3}' = {x_3}+c_3 \lambda \cdot \Delta
 {x_4}' = {x_4}+c_4 \lambda \cdot \Delta

Tutaj mamy kolizję ciała sztywnego z nieruchomym światem. Powyższa metoda jest ogólną do obsługi kolizji kilku sztywnych ciał. Kolizje są przetwarzane na jedną parę ciał naraz. Zamiast poruszać tylko p, w tym przypadku zarówno p i q są przenoszone do siebie.

Znowu, po skorygowaniu pozycji cząstki w taki sposób, że spełniają one ograniczenia nieprzenikania, należy uwzględnić sześć ograniczeń odległości, które tworzą ciała sztywne, itd. W tej metodzie, czworościan może być nawet zanurzony wewnątrz innego obiektu, który może być stosowany zamiast samego czworościanu do obsługi kolizji. Na rys. 6, czworościan jest osadzony wewnątrz kostki.

Po pierwsze, kostka musi być umocowana do czworościanu w jakiś sposób. Jednym z rozwiązań byłoby wybranie systemu masowej punkcie środkowym 0.25*(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) jako pozycję kostki, a następnie dziedziczyć orientacyjną macierz (derive an orientation matrix) poprzez analizę obecnych pozycji cząsteczek. Gdy kolizja/przenikanie zostaną wychwycona, punkt kolizyjny p (który w tym przypadku zostanie położony na kostce) jest traktowana dokładnie tak samo, jak powyżej i pozycje cząsteczek są stosownie aktualizowane. Jako optymalizacja, możliwe jest wcześniejsze przeliczenie wartości c_1 - c_4 dla wszystkich wierzchołków z kostki. Jeśli punktem przenikania p jest wierzchołek, wartości c_1 - c_4 mogą być użyte bezpośrednio. W innym wypadku, p leży na wnętrzu powierzchni trójkąta lub jednego z jego krawędzi i wartości c_1 - c_4 mogą następnie być interpolowane z przeliczonych wcześniej wartości odpowiednich wierzchołków trójkąta.

Zazwyczaj 3 do 4 powtórzeń relaksacji jest wystarczające. Ciała nie będą się zachowywać tak, jakby były całkowicie sztywne, ponieważ iteracje relaksacyjne są zatrzymane przedwcześnie. Jest to przede wszystkim użyteczna funkcja, jako że nie istnieje coś takiego jak doskonale sztywne ciało – zwłaszcza ludzkie. To również sprawia, że system stał się bardziej stabilny.

Przez przemieszczenie cząsteczek, które tworzą czworościan, właściwości fizyczne również mogą być zmienione (matematycznie, bezwładność się zmienia, kiedy pozycje i masy cząstek są zmieniane).

Możliwe są inne ustawienia cząstek niż czworościan, np. umieszczenie cząsteczek w modelu układu współrzędnych, tzn. w (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Niech a, b, c będą wektorami od cząstki 1 do cząstek odpowiednio 2, 3 i 4. Ograniczenie pozycji cząstek przez przyjęcie, aby wektory a, b, c miały długość 1, a kąt między każdą z trzech par wektorów wynosił 90 stopni (odpowiadający iloczyn skalarny powinien wynosić zero). (Zauważ, że ten znów daje cztery cząstki i sześć ograniczeń).